Benfords Gesetz : Eins gewinnt

Mit einer mathematischen Formel lassen sich Wahlfälschungen nachweisen.

Sonja Beckmann

Schlechte Zeiten für Bilanzfälscher: Mit Benfords Gesetz lassen sich Unregelmäßigkeiten aufspüren. Die Regel besagt, dass die erste Ziffer einer Zahl nicht mit gleicher Häufigkeit auftritt, sondern diese von 1 bis 9 abnimmt. Das klingt absurd, warum sollten kleinere Zahlen häufiger vorkommen als größere?

Physiker der Universität Cordoba haben jetzt neue Belege für das verblüffende Gesetz gefunden (European Journal of Physics, Band 28, 2007). „Benfords Gesetz schien erst nur ein mathematisches Kuriosum zu sein“, sagt der Physiker Jesús Torres, einer der Autoren, „doch es gibt faszinierende Anwendungen.“

Verschmutzte Seiten von Logarithmentafeln wiesen den Weg

Der kanadische Mathematiker und Astronom Simon Newcomb entdeckte das Phänomen bereits 1881, als er Planetenbahnen berechnete. Damals vereinfachten Wissenschaftler die Multiplikation großer Zahlen mit Logarithmentafeln. Dabei fiel dem Astronomen auf, dass die vorderen Seiten der Logarithmentafeln zerfledderter waren als die hinteren. Er folgerte, dass die 1 häufiger als jede andere Ziffer an erster Stelle einer Zahl steht. Newcomb stellte eine Formel auf und publizierte sie im „American Journal of Mathematics“, doch der kurze Text blieb unbeachtet.

Erst ein halbes Jahrhundert später entdeckte Frank Benford Newcombs Ergebnisse neu, auch ihm fielen die stärker verschmutzten vorderen Seiten von Logarithmentafeln auf. Nach dem Physiker, der auch den Laserpointer erfand, heißt die Formel Benfords Gesetz. Er untersuchte, was die Statistik hergab: die Längen von Flüssen, Einwohnerzahlen, Halbwertszeiten radioaktiver Elemente, Baseball-Ergebnisse, chemische und physikalische Konstanten sowie Hausnummern.

20.000 Daten, die alle dasselbe ergaben: Die 1 kam vorne am häufigsten vor. Sie taucht zu 30 Prozent als erste Ziffer der Zahlen auf. Zu knapp 18 Prozent ist es die 2, gerade mal zu 4,5 Prozent die 9.

Auch Flüsse gehorchen Benfords Gesetz

Ein einfaches Beispiel für Benfords Gesetz sind Hausnummern. Straßen beginnen mit der 1, doch längst nicht alle haben mehr als 20 oder gar 90 Hausnummern, hier ist die 1 die häufigste Anfangsziffer. Anders beim Lotto: Die Zahlen 10 bis 19 werden nicht häufiger gezogen als andere, hier gilt das Gesetz natürlich nicht. Auch zufällig erzeugte Zahlen sind annähernd gleich verteilt. Erstaunlich jedoch: Torres und seine Kollegen haben aus der Menge von 5000 Zufallszahlen jeweils vier miteinander multipliziert. Das Ergebnis folgt Benford. Ein allgemeingültiges Kriterium, ob ein Datensatz dem Gesetz gehorcht, gibt es bisher nicht. Doch die große Zahl von Beispielen, die Benford gefunden hat, zeigt die Bedeutung der Formel. Der amerikanische Mathematiker Roger Pinkham bewies, dass auch die Längen von Flüssen Benford gehorchen, egal, ob sie in Kilometern, Meilen, Lichtjahren oder anderen Einheiten gemessen werden.

Die Physiker um Torres zeigen jetzt Anwendungen des Gesetzes in der Praxis: Benford-basierte Studien haben Abweichungen bei den mexikanischen Präsidentschaftswahlen 2006 bewiesen. Auch das Ergebnis der Wahl George W. Bushs zum Präsidenten der USA 2000 passt nicht in Benfords Muster, vor allem nicht in Florida. Dort war das Resultat umstritten und musste neu ausgezählt werden.

Das Finanzgericht Münster erkennt damit Schummeleien

Mark Nigrini, Professor für Buchhaltung an der Universität Kansas, hat ein Programm entwickelt, das Bilanzen auf die Einhaltung des Benford-Gesetzes überprüft. Die Idee: Wer eine Bilanz manipuliert, achtet häufig auf eine gleichmäßige Verteilung von Ziffern. Das Programm erkennt Auffälligkeiten und signalisiert einen eventuellen Betrug. Bekannte Beispiele sind die gefälschten Bilanzen bei den Unternehmen Enron und Worldcom, die signifikant abwichen. So ist es nicht erstaunlich, dass das Finanzgericht Münster Benfords Gesetz seit zwei Jahren nutzt, um Indizien für Schummeleien zu finden.

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