Berühmter Beweis: Es geht immer noch größer

Der von Euklid überlieferte Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, gilt als Klassiker. Er beruht darauf, dass sich jede Zahl als produkt von Primzahlen schreiben lässt. Die Argumentation ist einfach: Angenommen, es gebe nur endlich viele Primzahlen. Dann nehmen wir sie alle miteinander mal – und erhalten eine sehr große Zahl, zu der wir 1 hinzuzählen. Das Ergebnis kann aber durch keine der bisher bekannten Primzahlen glatt teilbar sein, denn es würde immer 1 als Rest bleiben. Das Ergebnis muss also selber eine Primzahl sein, oder es gibt andere Primzahlen, durch die es glatt teilbar ist. Es lassen sich also immer noch größere Primzahlen finden, ergo gibt es unendlich viele Primzahlen.

Was Euklid noch nicht wusste: Eine kleine Abwandlung dieses Beweises zeigt noch mehr. In der Folge der natürlichen Zahlen 1,2,3, ... gibt es beliebig lange Lücken, in denen keine einzige Primzahl vorkommt. Um zum Beispiel eine Lücke der Länge 4 zu erzeugen, nehmen wir die ersten 5 Zahlen – also eine mehr als die Länge der Lücke – miteinander mal und erhalten die Zahl z = 1·2·3·4·5. Man sieht sehr leicht, das z+2, z+3, z+4 und z+5 jeweils keine Primzahlen sein können, weil sie durch 2, 3, 4 bzw. 5 teilbar sind. Offenkundig wird z sehr, sehr groß, wenn die Lücke sehr lang werden soll – aber das ist ja gar nicht entscheidend.

Andreas Loos