Mathematik im Alltag: Die Schönheit der Kugel

In wenigen Monaten wird in der Nähe von Genf das größte physikalische Experiment aller Zeiten beginnen. 27 Kilometer durchmisst die ringförmige Apparatur am Forschungszentrum Cern, in der Atomkernbausteine (Protonen) mit nahezu Lichtgeschwindigkeit kreisen. In einem Tunnel 100 Meter unter der Erde sollen die Partikel miteinander kollidieren. Man möchte sie auf diese Weise in winzige Teile zerlegen.

Es geht um noch tiefere Einblicke in den Mikrokosmos: vom Atom zum Atomkern, zu Protonen und Neutronen und schließlich zu den Quarks. Die kleinsten dieser heute bekannten Bauteile der Materie werden durch enorme Kräfte zusammengehalten – daher der gigantische Aufwand. Der große Knall am Cern, die Zertrümmerung von Protonen bei höchster Energie, soll unbekannte, bisher nur vermutete Materiebausteine wie das „Higgs-Teilchen“ ans Licht bringen und zu einer umfassenden Theorie sämtlicher Partikel und Kräfte im Universum führen, einer „Weltformel“.

Die Anforderungen, die an eine derart universelle Theorie gestellt werden, haben sich im Laufe der Jahrtausende überraschend wenig geändert. Schön muss sie sein, formal einfach und sparsam in ihren Begriffen. Die langlebigste „Weltformel“ aller Zeiten genügte diesen Ansprüchen nahezu perfekt. Sie entsprang der Vorstellung, dass der Kosmos kugelförmig sei. Man konnte sich die Regelmäßigkeit, mit der Sonne und Sterne wiederkehren, nicht anders erklären als durch kreisförmige, gleichmäßige Bewegung.

Widerspenstige Planeten wie Venus oder Mars behalten zwar nicht immer denselben Abstand von der Erde, ändern ihre Geschwindigkeit und lassen sich nicht ohne weiteres in eine derart einfache Geometrie einfügen. Aber der griechische Mathematiker Apollonios von Perge löste das Problem im dritten Jahrhundert vor Christus auf geniale Weise. Er entwarf ein Modell, mit dem sich scheinbar unregelmäßige Planetenbewegungen auf das Zusammenspiel mehrerer Kreise zurückführen lassen.

Die Idee ist folgende: Ein Planet kann auf einem kleinen Kreis rotieren, dessen Mittelpunkt sich seinerseits auf einem Großkreis um die Erde bewegt. Durch eine geschickte Kombination von solchen Trägerkreisen und Aufkreisen, den Epizyklen, durch eine geeignete Wahl der Drehrichtungen und Umlaufgeschwindigkeiten, lassen sich alle möglichen geschlossenen Planetenbahnen nachbilden. Noch heute könnte man mit einem solchen Modell Mond- oder Sonnenfinsternisse zuverlässig vorhersagen.

Es war ein einzigartiger mathematischer Kunstgriff. Die Symmetrie und Einfachheit dieses Kreismodells waren so bestechend, dass es in den nächsten 2000 Jahren immer wieder in neuen Spielarten auftauchte. Auch Nikolaus Copernikus benutzte 1543 die alte Kreisformel, nur in neuem Gewand: Er verbannte die Erde aus dem Zentrum des Kosmos und ließ sie mitsamt den anderen Planeten um eine andere, fiktive Mitte kreisen, in deren Nähe sich nun die Sonne befand.

Die Vorstellung der Kreissymmetrie war allerdings seinerzeit schon kaum mehr zu halten. Erscheinungen wie die Kometen passten nicht ins Bild. Und je präziser die Planetenbeobachtungen wurden, umso mehr Ausgleichsbewegungen, umso mehr kleine und große Kreise, mussten in die jeweiligen Planetenmodelle aufgenommen werden. Derart aufgeblasen, verloren sie ihren Nimbus der Einfachheit und Schönheit.

Johannes Kepler und später Isaac Newton ersetzten die alte mathematische Sprache im 17. Jahrhundert durch eine neue. Anstelle der Kreise traten nun Ellipsen auf den Plan, mit der Schwerkraft kamen zugleich neue physikalische Begriffe hinzu. Newtons Gravitationstheorie löste die alte Weltformel ab.

Jim Gates, Direktor des Zentrums für String- und Teilchentheorie an der Universität Maryland, hat die physikalische Grundlagenforschung vor kurzem als ständiges Hin und Her zwischen zwei Polaritäten beschrieben. „Wenn die Mathematik das Yin ist, ist die Beobachtung das Yang.“ Theoretisches Konzept und Beobachtung ergänzen sich nicht nur, sie bringen sich wechselweise hervor. Mal ist die Rechenkunst die treibende Kraft, mal die Experimentierkunst.

So hat zum Beispiel erst die Entdeckung eines ganzen Zoos von Partikeln wie den Quarks zur modernen Elementarteilchentheorie geführt. Diese Theorie kommt aber nicht ohne innermathematische Konzepte aus, ästhetische Kategorien wie Symmetrieprinzipien spielen darin eine herausragende Rolle. Ohne den festen Glauben an die Schönheit und Geschlossenheit ihrer Modelle hätten die Physiker am Cern einige ihrer wichtigsten Experimente womöglich nie in Angriff genommen.

Wenn Wissenschaftler heute von einer „Theorie von allem“ sprechen, haben sie dabei sowohl die ganz großen räumlichen Strukturen des Universums im Blick als auch die winzigen des Mikrokosmos, kurz: all das, was das menschliche Maß bei weitem über- oder unterschreitet. Beide Bereiche, die moderne Kosmologie und die Elementarteilchentheorie, sind eng miteinander verwandt. Einer Energie, wie sie in dem nun geplanten Experiment am Cern erzeugt werden soll, begegnet man sonst nur in kosmischen Prozessen.

Wie weit die Forscher noch von einer Weltformel entfernt sind, zeigen die jüngsten Entdeckungen im Makro- und im Mikrokosmos. Ähnlich wie die berüchtigten Kometen von damals, fährt ihnen die „Dunkle Materie“ oder die „Dunkle Energie“ in die Parade. Die heute erforschte, herkömmliche Materie macht offenbar nur etwa fünf Prozent der kosmischen Dichte aus – über die physikalische Natur der restlichen 95 Prozent ist nahezu nichts bekannt.

„Materie ist alles, was klumpt“, sagte Christof Wetterich von der Uni Heidelberg vergangene Woche bei einem Symposium der Deutschen Physikalischen Gesellschaft an der TU Berlin. So sammelt sich Materie in bestimmten Regionen des Alls, formt Sterne und Galaxien. Der größte Teil dieser Materie macht sich aber lediglich aufgrund der Schwerkraft bemerkbar. Man sieht sie nicht. Noch weniger wissen Forscher über die dunkle Energie, die anscheinend mit etwa 75 Prozent der Energiedichte die gegenwärtige Entwicklung des Alls dominiert. „Sie ist homogen über das gesamte Universum verteilt.“ Und führt zu einer beschleunigten Expansion des Weltalls.

Kaum übersichtlicher als im Makrokosmos sind die Strukturen im Mikrokosmos. Die aberwitzige Energie, die die Quarks aneinander bindet, lässt es kaum noch zu, von individuellen Grundbausteinen der Materie zu sprechen. Quarks treten nie einzeln auf. Stattdessen verliert sich der Blick in die subnukleare Welt in einem Zusammenspiel aus messbaren Zustandsgrößen und mehr oder weniger kurzlebigen Agenten. Hinter lauter Quanten auch keine einfache Welt.

Das Schöne daran: Die Experimente am Cern werden mit ziemlicher Wahrscheinlichkeit Überraschendes ans Licht bringen. „Ich sehe dem mit viel Spannung entgegen“, sagte Wetterich.

Die physikalischen Erkenntnisse werden hoffentlich eine neue Leitplanke für mathematische Modelle darstellen, etwa für die Stringtheorie, die als heißeste Kandidatin für eine Weltformel gehandelt wurde, der aber bislang jede Anbindung an die physikalische Realität fehlt.

Albert Einstein zufolge ist die Mathematik „die einzige perfekte Methode, sich selbst an der Nase herumzuführen“. Er machte damit seine eigenen Erfahrungen, suchte in seiner letzten Schaffensperiode vergeblich nach einer Möglichkeit, Mikro- und Makrokosmos miteinander zu verbinden. Er verstrickte sich in die kosmische Geometrie, ohne aktuellen Entwicklungen der Experimentalphysik noch viel Aufmerksamkeit zu schenken.

Die Mathematik ist nur eine treibende Kraft der Naturwissenschaften – in manchen Phasen allerdings die wichtigste. Es sieht so aus, als hätten Forscher bis heute keine bessere Sprache, um Regelmäßigkeiten und Muster zu beschreiben, um Vorhersagen abzuleiten oder technische Baupläne aufzustellen.

Bei alldem bleiben die Mathematiker bescheiden. Ihr Ideenkosmos kennt keine Grenzen. Schon deshalb kämen sie kaum auf den Gedanken, eine Weltformel gefunden zu haben.