MATHEMATIK IM ALLTAG – TEIL 3 Die Lernformel : Irren ist mathematisch

Die Welt der Zahlen erscheint als eindeutig bestimmt. Dabei sind Formeln und Regeln oft erst auf Umwegen gefunden worden. Albrecht Beutelspacher hat in Gießen ein Museum gegründet. Dort lässt sich der Umgang mit Mathe spielerisch lernen

Thomas de Padova

Worte sind vieldeutig. Das macht das Erlernen der Sprache so angenehm. Wenn man als Kind neue Wörter bildet und einen Halbsatz brabbelt, freuen sich die Eltern, die Kreativität im Umgang mit der Sprache wird mit viel Lob und Engagement gefördert.

„Achtundzwanzig, neunundzwanzig, zehnundzwanzig, elfundzwanzig ...“ „Man sagt nicht zehnundzwanzig, man sagt dreißig!“ Sobald Zahlen ins Spiel kommen, stößt die kindliche Kreativität an ihre Grenzen. Die meisten Erwachsenen spielen nicht mit. Sie lassen sich schon durch das kindliche Zählen verunsichern und klammern sich an Normen, da sie sich selbst nicht erklären können, warum man nicht elfundzwanzig sagt, aber neun, zehn, elf, zwölf zählt.

„Die Mathematik zeigt sich oft als hermetisch abgeschlossenes System, wobei es nur um die formale Stimmigkeit geht und weniger um Einsicht“, sagt der Gießener Mathematiker Albrecht Beutelspacher. „Sie scheint wie in Stein gemeißelt. Wenn ein Kind sich verrechnet, finden wir das überhaupt nicht süß.“ Denn wir kennen nur richtig oder falsch. Was rechts und links des vorgezeichneten Weges liegt, wird ausgeblendet. Abzweige und Umwege, die jede lebendige Kultur auszeichnen, fallen dem Anschein mangelnder Rationalität zum Opfer.

Dabei sind alle Formeln und Begriffe, die das Gedankengebäude der Mathematik gefestigt haben, historisch gesehen selbst auf vielen Umwegen erreicht worden. „Sie sind Kulturleistungen ersten Ranges“, sagt Beutelspacher. So haben etwa die indisch-arabischen Ziffern die umständliche römische Zahlenschreibweise erst in der Zeit der Renaissance abgelöst. Das hat die westliche Kultur noch stärker geprägt als der Wandel der Malerei während der Renaissance – der seinerseits viel mit Geometrie und dem Ideal mathematisch exakter Reproduzierbarkeit zu tun hat.

Beutelspacher vergleicht die über Jahrhunderte erreichte Stringenz der Mathematik gerne mit einem Tropfen Tabasco – genießbar nur für den, der damit beim Kochen umzugehen gelernt hat. Während der 57-Jährige spricht, sitzen ein Stockwerk tiefer ein Dutzend Kinder am gedeckten Geburtstagstisch. Die Gruppe ist aus Ober-Mörlen nach Gießen gekommen, um hier, im „Mathematikum“, Niklas’ zehnten Geburtstag zu feiern. Nach Saft und Kuchen springen die Kinder gleich auf, um ihre Entdeckungsreise in die Welt der Zahlen, der geometrischen Formen und Muster fortzusetzen.

Die Schüler knacken Geheimcodes, spielen mit ihren Spiegelbildern und zwei Meter hohen Seifenblasen, schätzen Entfernungen ab und wundern sich vor einer Weltkarte darüber, wie schnell die Weltbevölkerung wächst: Seit heute morgen 9 Uhr, also innerhalb von neun Stunden, sind mehr als 70 000 Menschen auf unserem Globus hinzugekommen, die meisten in Afrika und Südamerika. Das Zählwerk klickt im Halbsekundentakt.

Vor fünf Jahren hat Beutelspacher das Mathematik-Museum ins Leben gerufen. Da hatte er bereits eine erfolgreiche Industriekarriere hinter sich: Bei Siemens hatte er in den 80er Jahren sichere Verfahren für das Bezahlen mit Chipkarten entwickelt. Danach war er mit viel Selbstvertrauen an die Hochschule zurückgekehrt. „Die lächerlichen Rituale der Universität einmal von außen zu sehen, schafft eine Unabhängigkeit, die mit nichts zu bezahlen ist.“

Seit den 90er Jahren macht der Professor mit Mathevorträgen, populärwissenschaftlichen Büchern und Ausstellungen für alle Altersgruppen von sich reden. Sein „Mathematikum“ hat sich zu einem Publikumsmagnet entwickelt. Die Exponate laden dazu ein, mathematische Zusammenhänge durch eigenes Nachdenken und Fantasie zu begreifen. „Das macht den Kindern sichtlich Spaß.“

Eine ähnliche Herangehensweise an die Mathematik würde sich Beutelspacher auch für den Schulunterricht wünschen. Aber schon in der Grundschule steht dem oft eine völlig andere Auffassung von Mathematik im Wege. „Die Lehrkräfte sehen Mathematik als eine Ansammlung von Faktenwissen und Prozeduren und unterrichten entsprechend“, sagt Ilonca Hardy, wissenschaftliche Mitarbeiterin am Max-Planck-Institut für Bildungsforschung in Berlin.

Auf diese Weise lernen die Schüler zwar schnell, Mengen zu addieren oder zu subtrahieren: Wenn Josef fünf Murmeln hat und Maria drei, fällt es ihnen nicht schwer, die Gesamtzahl der Murmeln herauszubekommen. Aber sobald nicht mehr auf den ersten Blick erkennbar ist, welche Mengen addiert oder subtrahiert werden müssen, geraten sie ins Schwimmen.

Jeder von uns hat in solchen Fällen bereits einmal den Überblick verloren. „Ein Bauer hat neun Hühner. Alle bis auf fünf werden eines Tages krank und sterben. Wie viele Hühner bleiben ihm?“ In der Schule darauf getrimmt, immer wieder dieselben mathematischen Verfahren zu verwenden, ist man versucht, sofort zu subtrahieren. Obschon es hier gar nichts zu rechnen gibt. Ein paar Schlüsselwörter genügen, um Rechenroutinen in Gang zu setzen.

Das sei ähnlich wie in der Physik, sagt Ilonca Hardy. „Man kennt eine Formel und setzt sie blind ein.“ Mathematik bedeutungsvoll anzuwenden, werde im Unterricht viel zu wenig praktiziert. Internationale Vergleichsstudien haben gezeigt, wie groß die Schwierigkeiten deutscher Schüler sind, Beziehungen zwischen der Welt der Zahlen und der wirklichen Welt zu knüpfen. Die Grundrechenarten sind für die meisten Schüler nicht das Problem, vielmehr die Übersetzung eines Sachverhalts in die Sprache der Mathematik.

Dabei sind Kinder schon früh dazu imstande, neben den Rechenprozeduren auch mathematische Konzepte zu begreifen. Ilonca Hardy holt eine Balkenwaage aus einem der Wandschränke des Labors, in dem sie und ihre Kollegen in den vergangenen Jahren die mathematischen Fähigkeiten von mehreren hundert Kindern studiert und gefilmt haben. Fünf kleine Tische stehen hier, von den Decken schauen ein paar Kameras hinunter.

Die Waage befindet sich zum Beispiel im Gleichgewicht, wenn links ein Stein am Balkenende, rechts dagegen zwei Gegengewichte in der Mitte des Arms liegen. Fügt man nun links einen Stein hinzu, dann reicht es, um das Gleichgewicht wieder herzustellen, nicht aus, rechts ebenfalls nur einen Stein zu addieren. Die Kinder können selbst entdecken: Man braucht wiederum zwei Gegengewichte.

Anstelle des Experiments mit der Balkenwaage könnte man auch Orangensaft und Zitronensaft in unterschiedlichen Verhältnissen miteinander mischen. Mithilfe solcher Versuche bekommen schon Dritt- und Viertklässler ein gutes Verständnis davon, was Proportionalität, was ein Verhältnis von 2:1 bedeutet.

Ilonca Hardy und das Team der Kognitionspsychologin Elsbeth Stern haben herausgefunden, dass nicht nur die besseren, sondern auch schwächere Schüler von einem konzeptuell anspruchsvollen Unterricht mit unterschiedlichen Darstellungsformen profitieren.

Die Schüler lernen auf diese Weise, dass Zahlen eine Bedeutung haben. Wenn sie erst einmal begreifen, dass Mathematik an sich sinnvoll ist, behalten sie ihr Interesse daran viel eher bei, wenn sich der Unterricht um innermathematische Fragestellungen dreht.

Paradoxerweise beruht die Abneigung gegen Mathematik auch auf einer Unterforderung der Schüler. Mathestunden gelten als quälend langweilig – selbst bei vielen guten Schülern. In der Sekundarstufe laufen sie in der Regel stets nach ein und demselben Muster ab: Der Lehrer begrüßt die Schüler und bespricht die Hausaufgaben, es folgt das typische Unterrichtsgespräch zu einer neuen Fragestellung. Der nun einsetzende Dialog mit den Schülern ist meist nur ein Scheindialog, wie die Auswertung zahlreicher Unterrichtsvideos aus Mathematikklassen zeigt. Die Schüler spielen das Spiel: „Der Lehrer weiß es schon, und ich bin nur der Stichwortgeber.“

Es sind die Lehrer selbst, die die Begriffe, oft sogar die Lösungen vorgeben und komplexe Zusammenhänge so lange kleinreden, bis nur noch ein Lösungsschema übrig bleibt, das es anzuwenden gilt. „Die Lehrkräfte weisen, anders als in Japan, seltener darauf hin, dass es mehrere Lösungen gibt“, sagt Mareike Kunter vom Max-Planck-Institut für Bildungsforschung. Während Schüler in Japan regelmäßig dazu angehalten würden, Lösungen selbst zu diskutieren, seien gleichaltrige Schüler hierzulande viel weniger gefordert, autonom zu denken.

Das sind wohl nur einige der Gründe für das schlechte Abschneiden deutscher Mathematikschüler in den Timms- und Pisa-Studien der Jahre 1996 und 2003. Die Aufgaben bei diesen Tests orientierten sich an Vorschlägen, die auf den niederländischen Mathematikdidaktiker Hans Freudenthal zurückgehen. Freudenthal setzte sich schon in den 70er Jahren dafür ein, Mathematik nicht als fertiges System losgelöst von der realen Welt zu betrachten. Er fand damit viel internationalen Zuspruch.

Vor diesem Hintergrund sei es erstaunlich, dass nahezu 80 Prozent der Lehrer Freudenthals Ansätze gar nicht kennen, sagt Kunter. Sie hat zusammen mit ihren Kollegen die Timms-Videos ausgewertet und Lehrer aus den Pisa-Klassen zu ihren Unterrichtsmethoden und ihrem Fachwissen befragt. Das ernüchternde Ergebnis: In nicht einmal zehn Prozent der aufgezeichneten Mathestunden wurde die praktische Relevanz des Gelernten für den Alltag angesprochen. Und nur in seltenen Fällen drehte sich der Unterricht darum, mathematische Modelle selbst zu entwerfen und verschiedene Konzepte miteinander zu verbinden.

An Ideen für eine Umgestaltung des Matheunterrichts mangelt es nicht. Das zeigen die zahlreichen Initiativen, die in den zurückliegenden Jahren ins Leben gerufen wurden: von „Sinus“ (www.sinus-transfer.de) bis zu „Mathematik anders machen“ (www.mathematik-anders-machen.de).

„Aber der Unterricht ändert sich nur langsam“, sagt die Psychologin. „Die Lehrer aus unserer Studie waren im Mittel schon 20 Jahre im Beruf.“ In dieser Zeit hätten sich zwar die Erkenntnisse der Mathematik-Didaktik stark verändert, vieles davon sickere aber erst mit der nächsten Lehrergeneration in den Unterricht durch. Denn die meisten Lehrer machten kaum mathematikspezifische Fortbildungen. Im Schnitt seien das alle zwei Jahre nur etwa fünf Stunden.

Ihr besonderes Augenmerk wollen Bildungsforscher nun auf die Lehramtsausbildung richten. Auch Beutelspacher sieht hier einen entscheidenden Ansatzpunkt, das Niveau zu heben. Die Lehramtsausbildung müsse sich viel stärker als bisher an den Anforderungen des künftigen Lehrberufs orientieren. Und an alltagsrelevanten Fragestellungen.

Das ungleich größere Problem der Mathematiklehrkräfte ist jedoch, dass sie ziemlich alleine auf weiter Flur dastehen. Anders als in Fächern wie Deutsch oder Englisch bekommen die Schüler in Mathematik außerhalb des Unterrichts kaum Anregungen. Im Gegenteil. Ständig treffen sie auf Leute, die ihre eigene Abneigung gegenüber Mathe äußern. Obwohl unser Alltag von mathematisch-technischen Errungenschaften durchdrungen ist, sind vielen Akademikern mathematische Konzepte völlig fremd.

Auch sie hätten die Chance zu verstehen, dass sich hinter einem Touchscreen ein einfaches kartesisches Koordinatensystem mit Längen- und Breitengraden verbirgt oder dass der Funkwecker die richtige Uhrzeit über einen simplen Code erfährt. Man muss solche mathematischen Verfahren nicht kennen. Aber sie sind ein Ideenkapital, aus dem neue praktische Anwendungen und zunehmend Arbeitsplätze in der Industrie oder Finanzwirtschaft hervorgehen.

Wer als Mathematiklehrer oder Referendar Interesse hat, an den Studien des Max-Planck-Instituts für Bildungsforschung teilzunehmen, kann sich unter lehrer@mpib-berlin.mpg.de melden.

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