Mathematik : Im Reich der Unknoten

Nicht nur Segler oder Sportler beschäftigen sich mit Knoten. Auch Mathematiker faszinieren die komplizierten Gebilde, besonders die Frage, wann ein Knoten sich entwirren lässt. Von Knoten, Knäueln und Krawatten.

Andreas Loos,Günter M. Ziegler
Einfach gestrickt. Ein Paalsteg ist für einen Mathematiker eine "Kurve im Raum".
Einfach gestrickt. Ein Paalsteg ist für einen Mathematiker eine "Kurve im Raum".Foto: Butch Fotolia

Der König Gordios von Phrygien hatte eine besondere Beziehung zu seinem Streitwagen. Und so stellte er ihn in den Tempel des Zeus, wobei er die Deichsel mit einem kniffligen Knoten festband. Wer ihn löste, dem wurde die Weltherrschaft versprochen. Es gibt zwei Versionen davon, wie die Lösung vonstatten ging: Die erste erzählt davon, dass Alexander der Große 334 v. Chr. den Knoten mit dem Schwert durchschlug und danach halb Asien eroberte. In Version Nummer zwei wird behauptet, Alexander habe erkannt, dass er nur einen Pflock aus dem Knoten herausziehen musste – und der Knoten löste sich von selbst.

Der Kampf mit Verknotetem gehört bis heute zum Alltag der Menschen: Wir rollen Spaghetti manierlich mit der Gabel auf und fieseln Kopfhörerkabel mühevoll auseinander. Wir binden unsere Schuhe, schnüren Pakete und Geschenke, knoten Krawatten und Fliegen. Manche Menschen tragen verschlungene Frisuren, andere knüpfen Teppiche. Segler machen ihr Boot mit einem Paalstek fest, Kletterer sichern sich mit Prusikknoten oder verbinden zwei Seile mit einem Sackstich. Wir rollen Spaghetti manierlich mit der Gabel auf und fieseln Kopfhörerkabel oder Schnürsenkel mühevoll auseinander.

Plastisches Modell eines Knotens.
Plastisches Modell eines Knotens.Bild: John Sullivan

Die Mathematiker nahmen den Knotenkampf erst im 19. Jahrhundert auf, auf Anregung der Physiker. Denn zu den ersten Knoten, die in den Naturwissenschaften untersucht wurden, gehörten hypothetische Kringel aus Ätherwind, die durch ihre unterschiedlichen Verschlingungen die verschiedenen Arten von Atomen erzeugen sollten. Die Idee stammte vom Physiker William Thomson, den man heute als Lord Kelvin kennt.

Die Mathematiker abstrahierten von den unzähligen realen Knoten. Während ein Krawattenknoten geradezu davon lebt, dass er Volumen besitzt, gehen Mathematiker von einem beliebig dünnen Faden aus. So wurde aus den Knoten des Alltags ein mathematisches Gebilde: hauchdünne, geschlossene Kurven im Raum, die beliebig gedehnt und deformiert werden dürfen, sich aber dabei nicht selbst durchdringen.

Zunächst faszinierte die Forscher die Vielfalt der Knoten und ihrer zweidimensionalen Abbildungen, der Knotendiagramme. Die Pioniere des Feldes zeichneten immer neue Knotenbilder und fragten sich, wann sie zwei wirklich unterschiedliche Knoten zeigen und wann nicht. Sie betrieben regelrecht eine „Zoologie der Knotendiagramme“.

Auf diese Weise entstanden seitenlange Tabellen von Primknoten, also Knoten, die eben nicht durch Aneinanderkleben von einfacheren Knoten zu bekommen sind. 1876 zum Beispiel veröffentlichte Peter G. Tait, ein Mitarbeiter von Kelvin, alle Knotendiagramme mit bis zu sieben Überschneidungen, 1899 hatten er und der Amerikaner Charles Newton Little systematisch alle Knotendiagramme mit bis zu zehn Überschneidungen gezeichnet.

Arbeit dieser Art fasziniert die Knotentheoretiker bis heute: 1974 fand der Hobby-Knotentheoretiker Kenneth Perko in den Tait-Little-Tabellen eine Dopplung, die bis dahin allen Mathematikern entgangen war. Und 1998 traten zwei Teams von amerikanischen Mathematikern gegeneinander an, um alle Knoten bis zu 16 Überschneidungen zu katalogisieren. Sie arbeiteten unabhängig voneinander mit verschiedenen Methoden und kamen zu exakt demselben Ergebnis: einer Liste von 1 701 936 Knotendiagrammen.

Die Abbildung rechts zeigt die acht Knotendiagramme mit bis zu sechs Überschneidungen – also Bilder von Knoten, die aussehen, als seien die dreidimensionalen Knoten zwischen zwei Buchdeckel geraten. Spiegelbilder oder Knoten, die durch Aneinanderkleben der gezeigten Knoten entstehen können, wurden weggelassen. Viele dieser Knoten haben Namen: So wird 01 der „Unknoten“ genannt, weil er eigentlich gar nicht verknotet ist, 31 der Kleeblattknoten und 41 der Achterknoten.

Inzwischen interessieren sich Mathematiker auch für reale Knoten. Die Probleme werden dadurch allerdings nur komplizierter, denn reale Knoten haben zum Beispiel eine gewisse Länge. Die Physiker Thomas Fink und Yong Mao landeten mit einer Knotentabelle, die darauf basierte, 1999 sogar einen Bestseller: In ihrem Buch über „Die 85 Methoden eine Krawatte zu binden“ bewiesen sie, dass mit der handelsüblichen Krawattenlänge nicht mehr als 85 verschiedene Knoten möglich sind.

Es kann auch sein, dass ein verknoteter Faden eine elektrische Ladung besitzt, die verhindert, dass der Faden sich selbst an Überkreuzungen allzu nahe kommt. Das führt zu komplizierten mathematischen Fragen wie: „Wie lang muss ein Draht bei einem gewissen Durchmesser sein, um daraus einen bestimmten Knoten biegen zu können?“ Die Ergebnisse dieser Forschung fließen vor allem in die Molekularbiologie ein, wenn Forscher vorherzusagen versuchen, in welche Form sich ein Eiweißfaden faltet.

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