Im Reich der Unknoten : Knoten: Die Fragen, das Wort, die Geschichte
Andreas Loos Günter M. Ziegler

Vor hundert Jahren spielten solche Dinge noch keine Rolle. Die Knotentheorie entwickelte sich in Windeseile zum Spielfeld für Sammler und Sortierer. In der Anfangszeit arbeiteten an dieser Sortierarbeit sogar Laien mit. Sie fragten sich: Sind die Knotentabellen von Tait und Co. vollständig und enthalten sie Dopplungen? Wie kann man feststellen, ob zwei Bilder ein und denselben Knoten zeigen? Dahinter steckt im Prinzip die Frage von Alexander: Sind alle Knotendiagramme wirklich so kompliziert wie sie aussehen, oder kann man sie vereinfachen – am Ende gar zu einem Unknoten? Wie kann man überhaupt herausfinden, ob ein Knoten ein Unknoten ist? Gibt es auch für den umgekehrten Fall einen einfachen Beweis? Und wie stellt man einen gegebenen Knoten mit möglichst wenigen Überschneidungen dar? Das sind die Gordischen Fragen der Knotentheorie!

Es sind schwierige Fragen, insbesondere, wenn man sie ohne viel Theorie und gute Methoden in Angriff nehmen muss. So waren die ersten Erfolge noch bescheiden: Im Jahr 1914 gelang es dem deutschen Mathematiker Max Dehn zu beweisen, dass der Kleeblattknoten und seine gespiegelte Version zwei unterschiedliche Knoten sind, der eine also nicht in den anderen überführt werden kann; er brauchte dazu elf Druckseiten. Dabei profitierten Dehn und seine Nachfolger davon, dass die Knotentheorie sich nicht als isolierte Kuriosität entwickelte, sondern eingebettet in eine der mächtigsten Theorien der Mathematik überhaupt, der Algebraischen Topologie: Ein riesiger Werkzeugkoffer voll geometrischem und algebraischem Handwerkszeug zur Konstruktion, Untersuchung und Unterscheidung von Kurven, Flächen und ihren Verformungen.

In dieser Pionierzeit in den 1920er Jahren machten der Brite James Alexander, Mathematiker und Sohn eines Kunstmalers, und der deutsche Kombinatoriker Kurt Reidemeister die nächsten entscheidenden Schritte in der Knotentheorie. Beide nutzten Mittel aus Topologie und Algebra und beschrieben (vermutlich unabhängig voneinander) 1926 drei einfache Operationen von Knotendiagrammen – die heute sogenannten Reidemeister-Bewegungen. Wenn ein Knotendiagramm einen unnötig verworrenen Unknoten zeigt, dann kann man es mit endlich vielen Reidemeister-Bewegungen entwirren, das bewiesen Reidemeister und Alexander. Aber wie viele Bewegungen man braucht, wenn man Pech hat, und wie man die Bewegungen findet, das konnten sie nicht sagen. „Die Lösung scheint aber noch in weiter Ferne zu liegen“, schrieb Reidemeister 1926. Tatsächlich ist bis heute kein Verfahren bekannt, das die Reidemeister-Bewegungen zum Entwursteln von Knoten gezielt ausnutzt – sie sind zwar anschaulich, aber eine mathematische Sackgasse. Keine Option für Alexander den Großen.

Man begann daher schon früh nach Alternativen Ausschau zu halten. Eine Idee: Kann man vielleicht für Knotendiagramme eine Art mathematischen Fingerabdruck, Invariante genannt, definieren, der für alle Knotendiagramme gleich ist, wenn man sie mit Reidemeister-Bewegungen ineinander überführen kann? Wenn dann zwei Bilder von Knoten unterschiedliche Invarianten haben, dann sind die Knoten auch wirklich verschieden, also nicht ineinander deformierbar.

Doch dann landete 1961 der Mathematiker Wolfgang Haken einen mathematischen Coup, die Lösung des ersten der Gordischen Knotenprobleme: er veröffentlichte einen Algorithmus – also ein Rechenschema, das man zum Beispiel auch für einen Computer programmieren könnte – mit dem man für jedes Knotendiagramm entscheiden kann, ob es einen Unknoten zeigt oder nicht. Haken verwendete dazu Mittel der Topologie, besonders ein Ergebnis von Herbert Seifert aus den 1930er Jahren: Wenn ein Knoten trivial ist, dann kann man in ihn eine einfache Fläche einspannen, die von dem Knoten begrenzt wird. So eine Fläche gibt es für den einfachen Ring, und wenn man den Knoten deformiert, dann kann man die Fläche mitführen.

Obwohl Haken zehn Jahre an dem Resultat gearbeitet hatte und seine Lösung des Problems richtig war, blieb ihm die Anerkennung für die Meisterleistung zunächst verwehrt. Seine Beschreibung der Lösung war nämlich sehr schwer zu verstehen, 131 Seiten lang und auf Deutsch verfasst. Erst Ende der 1990er Jahre grub eine Gruppe von drei amerikanischen Mathematikern den Algorithmus wieder aus. Joel Hass, Jeff Lagarias und Nick Pippinger betrachteten in einem Aufsatz von 1999 Hakens Algorithmus als eine Art Maschine, die für jeden noch so kompliziert verschlungenen Unknoten relativ kurze „Beweise“ dafür produziert, dass der betreffende Knoten der Unknoten ist. Diese Beweise untersuchten sie. Ergebnis: Die Beweise sind zwar erfreulich kurz, doch um sie zu finden, braucht Hakens Algorithmus unter Umständen sehr, sehr lange.

Ungeklärt blieb zunächst, was es denn zu „sehen“ gibt für den Fall, dass sich der Knoten nicht durch die Reidemeister-Bewegungen zu einer einfachen Schlinge entwirren lässt – bis vor wenigen Monaten Greg Kuperberg von der Universität von Kalifornien in Davis entdeckte, dass es auch für solche Knoten „Zertifikate“ gibt, die zwar vielleicht schwer zu finden sind, sich aber schnell lesen und überprüfen lassen. Wenn ein Knoten also nicht trivial ist, dann gibt es auch dafür einen kurzen Beweis. Das heißt: Für jeden Knoten lässt sich ein Zertifikat herstellen, das eindeutig belegt: Dieser Knoten ist der Unknoten, oder: Dieser Knoten ist komplizierter als der Unknoten. Das einzige Problem: Für den Beweis nutzte Kuperberg auch die Riemann-Vermutung, eines der größten Rätsel der Mathematik, denn sie ist bis heute nicht bewiesen.

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